Berechnungen am Zyklotron (klassisch)

Aufbau und Funktion eines Zyklotron

Berechnungen:

Die Lorentzkraft $F_{\rm{Lorentz}}$ ist die notwendige Zentripetalkraft $F_{\rm{Zentripetal}}$ für die Kreisbahn:$$F_{\rm{Lorentz}}=F_{\rm{Zentripetal}}\Rightarrow q\cdot v\cdot B=\frac{m\cdot v^2}{r}\Rightarrow v=\frac{r\cdot q\cdot B}{m}$$ $$q=\text{Ladung des Teilchens}, v=\text{Geschwindigkeit des Teilchens}, B=\text{magnetische Flussdichte}, m=\text{Masse des Teilchens}, r=\text{Radius der Kreisbahn}$$ Mit $v=\omega\cdot r=2\pi \cdot f\cdot r$ folgt für die sog. Zyklotronfrequenz $f$$$ 2\pi \cdot f\cdot r=\frac{r\cdot q\cdot B}{m}\Rightarrow f=\frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$$ $$\omega=\text{Winkelgeschwindigkeit}, f=\text{Frequenz}$$ und für die Umlaufdauer T$$T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$$ Die Zyklotronfrequenz f, die Umlaufdauer T und damit auch die Durchlaufzeit durch einen Duanten sind unabhängig vom Bahnradius r. Daher kann die Frequenz der angelegten Wechselspannung konstant bleiben.

Die kinetische Energie Ekin des Teilchens nimmt mit jedem Durchlauf durch das E-Feld um den Betrag $q\cdot U$ zu:$$E_{kin}(n)=E_{kin_0}+n\cdot q\cdot U=\frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+n\cdot q\cdot U$$ $$E_{kin_0}=\text{Kinetische Anfangsenergie beim Austritt aus Teilchenquelle}, n=\text{Anzahl der Durchläufe durch das E-Feld}, U=\text{Spannung zwischen den Duanten}$$ Die Geschwindigkeit v des Teilchens ergibt sich aus seiner Anfangsgeschwinidgkeit v0 beim Austreten aus der Teilchenquelle und der Anzahl n der Durchläufe durch das E-Feld zwischen den Duanten wie folgt:$$\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+n\cdot q\cdot U\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2}{m}\left( \frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+q\cdot U\cdot n\right)}$$ Für $v_0=0$ gilt die einfachere Formel:$$v=\sqrt{\frac{2}{m}\cdot q\cdot U\cdot n}$$