Die Lorentzkraft $F_{\rm{Lorentz}}$ ist die notwendige Zentripetalkraft $F_{\rm{Zentripetal}}$ für die Kreisbahn:$${F_{\rm{Lorentz}}=F_{\rm{Zentripetal}}}$$
$${\Rightarrow q\cdot v\cdot B=\frac{m\cdot v^2}{r}}{\Rightarrow v=\frac{r\cdot q\cdot B}{m}}$$
$$q=\text{Ladung des Teilchens, }v=\text{Geschwindigkeit des Teilchens, }B=\text{magnetische Flussdichte, }m=\text{Masse des Teilchens, }r=\text{Radius der Kreisbahn}$$
Mit $v=\omega\cdot r=2\pi \cdot f\cdot r$ folgt für die sog. Zyklotronfrequenz $f$$$ 2\pi \cdot f\cdot r=\frac{r\cdot q\cdot B}{m}\Rightarrow f=\frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$$
$$\omega=\text{Winkelgeschwindigkeit}, f=\text{Frequenz}$$
und für die Umlaufdauer $T$$$T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$$
Die Zyklotronfrequenz $f$, die Umlaufdauer $T$ und damit auch die Durchlaufzeit durch einen Duanten sind unabhängig vom Bahnradius $r$. Daher kann die Frequenz der angelegten Wechselspannung konstant bleiben.
Die kinetische Energie $E_{\rm{kin}}$ des Teilchens nimmt mit jedem Durchlauf durch das E-Feld um den Betrag $q\cdot U$ zu:$$E_{kin}(n)=E_{kin_0}+n\cdot q\cdot U=\frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+n\cdot q\cdot U$$$$E_{kin_0}=\text{Kinetische Anfangsenergie beim Austritt aus Teilchenquelle}, n=\text{Anzahl der Durchläufe durch das E-Feld}, U=\text{Spannung zwischen den Duanten}$$
Die Geschwindigkeit $v$ des Teilchens ergibt sich aus seiner Anfangsgeschwinidgkeit $v_0$ beim Austreten aus der Teilchenquelle und der Anzahl $n$ der Durchläufe durch das E-Feld zwischen den Duanten wie folgt:$${\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+n\cdot q\cdot U}$$
$${\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2}{m}\left( \frac{1}{2}\cdot m\cdot {v_0}^2+q\cdot U\cdot n\right)}}$$
Für $v_0=0$ gilt die einfachere Formel:$$v=\sqrt{\frac{2}{m}\cdot q\cdot U\cdot n}$$
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