Mathematische Betrachtung der Schraubenbahnen

Zur mathematischen Beschreibung der Schraubenbahn werden parallele und senkrechte Bewegung zunächst getrennt betrachtet. Dazu wird v0 mittels Winkelfunktionen in seine Komponenten $v_{\parallel}$ und $v_{\perp}$ zerlegt.Skizze Schraubenbahn der Elektronen bei Drehung gegen B-FeldBewegung senkrecht zum Magnetfeld:
Hier gilt analog zum Experiment mit der Kathodenstrahlröhre $$F_{\rm{Lorentz}}=F_{\rm{Zentripetal}}\qquad \Rightarrow\qquad e\cdot v_{\perp}\cdot B=m_e\frac{v_{\perp}^2}{r}$$ Daraus folgt für den Radius der Schraubenbahn: $$\begin{equation}r=\frac{v_{\perp}\cdot m_e}{e\cdot B}\end{equation}$$ Mit $v_{\perp}=\omega\cdot r$ ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ $$\omega=\frac{e\cdot B}{m_e}$$ und mit $\omega=\frac{2\pi}{T}$ folgt für die Umlaufdauer T der Elektronen $$T=\frac{2\pi\cdot m_e}{e\cdot B}.$$ Bewegung parallel zum Magnetfeld:
Hier wirken keine Kräfte auf die Elektronen. Sie bewegen sich geradlinig-gleichförmig. Die Strecke, die die Elektronen parallel zum Magnetfeld zurücklegen, während sie eine volle Umdrehung auf der Kreisbahn machen, wird Ganghöhe h genannt und berechnet sich mit: $$h=v_{\parallel}\cdot T=\frac{2\pi\cdot m_e \cdot v_{\parallel}}{e\cdot B}$$