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Welche Geschwindigkeit haben die Elektronen beim Verlassen des E-Feldes?
Im Abschnitt
Kräfte
hast du herausgefunden, dass die Elektronen in
x
-Richtung nicht beschleunigt werden, also eine geradlinig-gleichförmige Bewegung durchlaufen. Die Geschwindigkeit \(v_{x}\) ist also beim Durchfliegen des Plattenkondensators konstant.
Du hast jedoch auch erfahren, dass die Elektronen im Plattenkondensator in
y
-Richtung gleichmäßig beschleunigt werden. Daher ändert sich \(v_y\) der Elektronen während sie den Plattenkondensator durchlaufen.
Aufgaben:
Elektronen treten mit \(v=4{,}2\cdot 10^{7}\,\rm{\frac{m}{s}}\) mittig in einen Plattenkondensator der Länge \(l=0{,}12\,\rm{m}\) und dem Plattenabstand \(d=0{,}06\,\rm{m}\) ein. Die Plattenspannung beträgt \(U_{\rm{p}}=2000\,\rm{V}\), die Elementarladung ist \(e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\rm{C}\) und die Masse eines Elektrons beträgt \(m=9{,}1\cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\).
Bewegungsgleichungen in y-Richtung
$$\begin{equation}y(t)=\frac{1}{2}a_y\cdot t^2\end{equation}$$
$$\begin{equation}v_y(t)=a_y\cdot t\end{equation}$$
$$\begin{equation}a_y(t)=\frac{F}{m}=\frac{U_{\text p}\cdot e}{m\cdot \text{d}}\end{equation}$$
Berechne die Beschleunigung \(a_y\), die die Elektronen im Plattenkondensator in
y
-Richtung erfahren.
Berechne die Geschwindigkeit \(v_y\) der Elektronen beim Verlassen des Plattenkondensators.
Berechne die resultierende Geschwindigkeit \(v_{\rm{res}}\) der Elektronen beim Verlassen des Plattenkondensators.
Lösung
Lösung
Nutzen von (3) liefert die gesuchte Beschleunigung:$$a_y=\frac{U_p\cdot e}{m\cdot d}=\frac{2000\,\text V\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}}{9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}\cdot 0{,}06\,\text{m}}=5{,}86\cdot10^{15}\frac{\text m}{\text s^2}$$
Gleichung (2) liefert die gesuchte Geschwindigkeit \(v_y\). Die Zeit \(t\), die das Elektron im Plattenkondensator ist, muss jedoch zunächst ausgerechnet werden. Die Zeit ergibt sich aus der Länge des Kondensators und der Geschwindigkeit in
x
-Richtung:$$t=\frac{l}{v_x}=\frac{0{,}12\,\text m}{4{,}2\cdot 10^7\,\frac{\text m}{\text s}}=2{,}86\cdot 10^{-9}\,\text s$$Einsetzen der beiden errechneten Werte in (2) liefert:$$ v_y=a_y\cdot t=5{,}86\cdot10^{15}\,\frac{\text m}{\text s^2}\cdot 2{,}86\cdot 10^{-9}\,\text s=16759600\,\frac{\text m}{\text s}=1{,}68\cdot 10^7\,\frac{\text m}{\text s}$$
Die Geschwindigkeit \(v_{\rm{res}}\) ergibt sich aus$$v_{\text{res}}=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}=\sqrt{{\left(4{,}2\cdot 10^7\,\frac{\text m}{\text s}\right)}^2+{\left(1{,}68\cdot 10^7\,\frac{\text m}{\text s}\right)}^2}=4{,}52\cdot 10^7\,\frac{\text m}{\text s}$$
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