Lösung:

Die Heizspannung ist für das Herauslösen der Elektronen aus der Glühwendel verantwortlich (glühelektrischer bzw. Edison-Richardson-Effekt). Die herausgelösten Elektronen bilden eine Wolke aus freien Elektronen um die Glühwendel. Wird nun eine Beschleunigungsspannung angelegt, so werden die freien Elektronen von der Glühwendel weg, hin zu Anode beschleunigt und somit aus der Elektronenwolke abgezogen. Neue Elektronen können sich dann aus der Glühwendel lösen. Je höher die Heizspannung ist, desto mehr Elektronen lösen sich aus der Glühwendel und desto dichter wird die Wolke der freien Elektronen. Durch Anlegen der Beschleunigungsspannung können also mehr Elektronen von der Glühwendel abgezogen werden. Je höher die Heizspannung, desto mehr Elektronen enthält der Elektronenstrahl. Er wird dichter und der sogenannte Anodenstrom steigt.

Die Beschleunigungsspannung bestimmt die Stärke des E-Feldes zwischen Kathode und Anode und sorgt somit für eine Beschleunigung der Elektronen von der Glühkathode weg zur Anode. Je höher die angelegte Beschleunigungsspannung ist, desto schneller werden die Elektronen im Elektronenstrahl bis zum Passieren der Anode.

Lösungen

1. Für die Geschwindigkeit der Elektronen am Ende einer Elektronenkanone gilt\[{v=\sqrt{2\cdot \frac{e}{m}\cdot U_{\text b}}}\]Einsetzen der gegebenen Größen liefert\[{\Rightarrow v=\sqrt{2\cdot \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}}{9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}}\cdot 500 \,\text{V}}\approx 1{,}326\cdot 10^7\,\frac{\text m}{\text s}}\]
2. Für die Arbeit gilt\[W_{\text{el}}=F_{\text{el}}\cdot \text {d} = U_{\text b}\cdot e\]\[\Rightarrow W_{\text{el}}=500 \,\text V \cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C \approx 8{,}0 \cdot 10^{-17} \,\text J\]
3. Für konstant-beschleunigte Bewegungen gilt: $$s=\frac{1}{2} a\cdot t^2 \Rightarrow t=\sqrt{\frac{2s}{a}}$$ Auf die Elektronen wirkt im E-Feld die Kraft \[F_{\text{el}}=\frac{U_{\text b}\cdot e}{\text d}.\] Mit \(F=m\cdot a\) folgt für die Beschleunigung der Elektronen: \[a=\frac{F_{\text{el}}}{m_{\text e}}=\frac{U_{\text b}\cdot e}{{m_{\text e}\cdot \text d}}\] Einsetzen in die Ausgangsformel und umformen liefert: \[t=\sqrt{\frac{2\cdot s}{\frac{U_{\text b}\cdot e}{{m_{\text e}\cdot \text d}}}}=\sqrt{\frac{2\cdot s\cdot m_{\text e}\cdot \text d}{U_{\text b}\cdot e}}\]\[\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}\cdot 0{,}05\,\text m\cdot 0{,}05\,\text m}{500\,\text V\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\text C}} \approx 7{,}54\cdot 10^{-9}\,\text s\]
4. Die Gleichung für die Geschwindigkeit muss nach \(U_{\rm{b}}\) aufgelöst werden:\[{v=\sqrt{2\cdot \frac{e}{m}\cdot U_{\text b}}\Leftrightarrow U_{\text b}=\frac{v^2\cdot m}{2\cdot e}}\]Einsetzen der Werte liefert\[{\Rightarrow U_{\text b}=\frac{ \left( { 2{,}054\cdot 10^7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} \right)^2 \cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\rm{kg}}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C}\approx 1200\,\text V}\]

Lösungen

1. Es muss relativistisch gerechnet werden, da bei Beschleunigungsspannungen von über 2,7 kV die beschleunigten Elektronen eine Geschwindigkeit erreichen, die größer ist als 10 % der Lichtgeschwindigkeit. Ab dieser Grenze würde eine Vernachlässigung der relativistischen Effekte zu einem nicht mehr vernachlässigbar kleinen Fehler führen.
   
2. \[{v_{\text{rel}}=c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left( {1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}}}\] \[\Rightarrow v_{\text{rel}}=c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{ \left( 1+\frac{8000\,\text{V}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}}{9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}\cdot \left( 3\cdot 10^8\,\frac{\text m}{\text s}\right)^2 }\right)^2}}\approx 0{,}1745\cdot c = 5{,}243\cdot 10^7\,\frac{\text m}{\text s} \]
3. \[ U_{\text b}=\left( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)\cdot\frac{m_e\cdot c^2}{e}\Rightarrow U_{\text b}\approx 79{,}187\,\text {kV}\]
4. Berechnung der klassisch notwendigen Beschleunigungsspannung: \[U_{\text b}=\frac{v^2\cdot m}{2\cdot e} \Rightarrow U_{\text b}=\frac{c^2\cdot m}{8\cdot e}\approx 63{,}984\,\text {kV}\] Der relative Fehler \(f\) ergibt so aus: $$f=\frac{U_{\rm{klass}}}{U_{\rm{rel}}}-1\Rightarrow\frac{63984\,\text V}{79187\,\text V}-1\approx -0{,}192=-19{,}2\,\%$$Bei klassischer Rechnung wäre die Beschleunigungsspannung also um etwa \(19{,}2\%\) zu niedrig.