Wann erreichen Elektronen 10% der Lichtgeschwindigkeit?

Aus der klassischen Betrachtung können wir die notwendige Beschleunigugngsspannung \(U_{\rm{b}}\) berechnen, bei der die Elektronen eine Geschwindigkeit von 10% der Lichtgeschwindigkeit, also \(v_{\rm{end}}=0{,}1\cdot c\) erreichen:\[v_{\text{end}}=0{,}1\cdot c = \sqrt{2\cdot \frac{e}{m_e}\cdot U_{\text b}}\]Quadrieren und auflösen nach \(U_{\rm{b}}\) führt zu\[U_{\text b}=\frac {0{,}01\cdot c^2 \cdot m_e}{2\cdot {e}}\]Einsetzen von $c=3\cdot 10^8~\frac {\text m}{\text s}$, $m_e=9{,}1\cdot 10^{-31}~\text{kg}$ und $\text e=1{,}60\cdot 10^{-19} ~\text C$ liefert\[\bbox[10px,border:2px solid red]{U_{\text b}=2559\,\rm{V}}\]Bei einer Beschleunigungsspannung von \({U_{\rm{b}}=2559\,\rm{V}}\) erreichen Elektronen etwa 10% der Lichtgeschwindigkeit. Treten höhere Beschleunigungsspannungen auf, so sollte nach einer Verbreiteten Faustregel relativistisch gerechnet werden.

Abweichung zwischen klassischer und relativistischer Rechnung

Den absoluten Fehler \(F\) bzw. den relativen Fehler \(f\), den du durch Nutzung der klassischen anstelle der relativistischen Rechnung machst, lässt sich wie folgt berechen:\[\begin{array}{lcl}{v_{\text{klassisch}}} & = & 0{,}1\cdot c\\{v_{\text{relativistisch}}} & = & c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}}\approx 0{,}09962 \cdot c\end{array}\]Für die absolute Abweichung \(F\) gilt hier \[F=v_{\rm{klass}}-v_{\rm{rel}}\] $$F=0{,}1 \cdot c - 0{,}09962 \cdot c = 0{,}00038 \cdot c \approx 114000 \frac{\text m}{\text s} = 410400 \frac {\text{km}}{\text h}$$ Für die relative Abweichung \(f\) gilt hier \[f=\frac{F}{v_{\rm{rel}}}=\frac{v_{\rm{klass}}-v_{\rm{rel}}}{v_{\rm{rel}}}=\frac{v_{\rm{klass}}}{v_{\rm{rel}}}-1\] $$\frac{0{,}1}{0{,}09962}-1=1{,}0038-1=0{,}0038=0{,}38 \% $$ Bei einer Beschleunigungsspannung von \(U_{\rm{b}}=2559\,\rm{V}\) wird für die Geschwindigkeit ein um \(0{,}38\,\%\) zu hoher Wert berechnet.

Zunahme der Abweichung

Mit steigender Beschleunigungsspannung nimmt diese Abweichung allerdings stark zu.
Vergleich der Geschwindigkeiten von Elektronen bei klassischer und relativistischer Rechnung
\[\begin{array}{c|c} & \text{relativer Fehler } f\\ \text{Spannung } U_{\rm{b}} & \text{ der Geschwindigkeit}\\ \hline 2559\,\rm{V} & 0{,}38\% \\ 6840\,\rm{V} & 1\% \\ 34600\,\rm{V} & 5\% \\ 70160\,\rm{V} & 10\% \end{array}\]