Einführung
Wellenlänge
Beugungs-ordnung Graphitschicht Übungen
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Wellenlänge
Beugungs-Für hochenergetische Elektronen ist die klassische Rechnung mittels $\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac{h}{p}=\frac {h}{\sqrt{2\cdot m_\text e \cdot e\cdot U_{\text b}}}$ nicht mehr zulässig. Es müssen relativistische Effekte berücksichtigt werden. Daher gilt $$\bbox[8px,border:2px solid red]{\lambda_{\text{de Broglie}} = \frac {h}{p}=\frac{h\cdot c}{\sqrt{\left(e\cdot U_\text{b}\right)^2+2\cdot e\cdot U_\text{b}\cdot m_\text{e}\cdot c^2}}}$$
Beispielhaft werden in der Tabelle die de-Broglie-Wellenlängen mittels klassischer und relativistischer Berechnung verglichen:
($h=6{,}6\cdot 10^{-34}\,\text J\cdot \text s$, $c=3\cdot 10^8\,\rm{\frac{m}{s}}$, $ m_{\text e}=9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$, $e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,{\text C}$)
| Beschleunigungsspannung Ub | $\lambda_{\text {de Broglie}}$ (klassisch) | $\lambda_{\text {de Broglie}}$ (relativistisch) | relativer Fehler |
|---|---|---|---|
| 1000 V | $3{,}8677\cdot 10^{-11}\,\text m $ | $3{,}8658\cdot 10^{-11}\,\text m $ | 0,05% |
| 10000 V | $1{,}2231\cdot 10^{-11}\,\text m $ | $1{,}2171\cdot 10^{-11}\,\text m $ | 0,49% |
| 50000 V | $5{,}4697\cdot 10^{-12}\,\text m $ | $5{,}3408\cdot 10^{-12}\,\text m $ | 2,41% |
| V | ${}$ | ${}$ |
Die folgende Grafik vergleicht die beiden Berechnungen und zeigt den relativen Fehlern in Abhängigkeit der Beschleunigungsspannung. Aufgrund des geringen Fehlers von etwa 0,58% bei einer Beschleunigungsspannung von 12 kV kann bei diesem Experiment weiterhin klassisch gerechnet werden.
