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De-Broglie-Wellenlänge von schnellen Elektronen

Für hochenergetische Elektronen ist die klassische Rechnung mittels $\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac{h}{p}=\frac {h}{\sqrt{2\cdot m_\text e \cdot e\cdot U_{\text b}}}$ nicht mehr zulässig. Es müssen relativistische Effekte berücksichtigt werden. Daher gilt $$\bbox[8px,border:2px solid red]{\lambda_{\text{de Broglie}} = \frac {h}{p}=\frac{h\cdot c}{\sqrt{\left(e\cdot U_\text{b}\right)^2+2\cdot e\cdot U_\text{b}\cdot m_\text{e}\cdot c^2}}}$$

Der relativistische Impuls $p$ kann aus der Energie-Impuls-Beziehung gewonnen werden: $$E=\sqrt{E_0^2+c^2\cdot p^2}\Rightarrow p=\frac {\sqrt{E^2 - E_0^2}}{c}$$ Mit $E=E_0+E_\text{kin}$ folgt$$p=\frac{\sqrt{\left(E_0+E_\text{kin}\right)^2-E_0^2}}{c}=\frac{\sqrt{2\cdot E_0\cdot E_\text{kin}+E_\text{kin}^2}}{c}$$ Einsetzen in $\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac{h}{p}$ liefert $$\lambda_{\text{de Broglie}}=\frac{h\cdot c}{\sqrt{2\cdot E_0\cdot E_\text{kin}+E_\text{kin}^2}}$$ und mit $E_0=m_e\cdot c^2$ und $E_\text{kin}=e\cdot U_\text{b}$ ergibt sich die gesuchte Gleichung $$\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac{h\cdot c}{\sqrt{2\cdot e\cdot U_\text{b}\cdot m_\text{e}\cdot c^2+\left(e\cdot U_\text{b}\right)^2}}$$

Beispielhaft werden in der Tabelle die de-Broglie-Wellenlängen mittels klassischer und relativistischer Berechnung verglichen:
($h=6{,}6\cdot 10^{-34}\,\text J\cdot \text s$, $c=3\cdot 10^8\,\rm{\frac{m}{s}}$, $ m_{\text e}=9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$, $e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,{\text C}$)

Beschleunigungsspannung Ub$\lambda_{\text {de Broglie}}$ (klassisch)$\lambda_{\text {de Broglie}}$ (relativistisch)relativer Fehler
1000 V$3{,}8677\cdot 10^{-11}\,\text m $$3{,}8658\cdot 10^{-11}\,\text m $0,05%
10000 V$1{,}2231\cdot 10^{-11}\,\text m $$1{,}2171\cdot 10^{-11}\,\text m $0,49%
50000 V$5{,}4697\cdot 10^{-12}\,\text m $$5{,}3408\cdot 10^{-12}\,\text m $2,41%
V${}$${}$

Relativer Fehler bei klassischer Rechnung

Die folgende Grafik vergleicht die beiden Berechnungen und zeigt den relativen Fehlern in Abhängigkeit der Beschleunigungsspannung. Aufgrund des geringen Fehlers von etwa 0,58% bei einer Beschleunigungsspannung von 12 kV kann bei diesem Experiment weiterhin klassisch gerechnet werden.


Vergleich zwischen der de-Broglie-Wellenlänge in  klassischer und relativistischer Berechnung
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