Auswertung zur experimentellen Bestätigung de Broglies

Um die Vermutung de Broglies zu bestätigen, muss folgendes gezeigt werden:

$$\frac{h}{p_{\text e}}=\frac{h}{\sqrt{2\cdot m_{\text e}\cdot e\cdot U_{\text b} }}=\lambda_{\text {de Broglie}}=2\cdot d\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{r}{L-R+\sqrt{R^2-r^2}}\right)\right)$$

Dazu muss für verschiedene Beschleunigungsspannungen \(U_{\rm{b}}\) der Radius des inneren Kreises auf dem Schirm der Elektronenbeugungsröhre bestimmt werden. Hier sind drei beispielhafte Messwerte aus dem Experiment:

$U_\text b$5 kV7 kV10 kV
Radius rinnen1,05 cm0,9 cm0,75 cm
Mithilfe dieser Messwerte und der gegebenen Größen $m_\text e=9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$; $e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}$; $h=6{,}6\cdot 10^{-34}\, \text J \cdot \text s$; $d=2{,}13\cdot 10^{-10}\, \text m$; $L=12{,}7\,\text {cm}$; $R=6{,}35\,\text {cm}$ lassen sich die Wellenlängen jeweils auf beiden Wegen berechnen:
$U_\text b$$$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\cdot m_{\rm e}\cdot e\cdot U_{\rm b} }}$$Radius rinnen$$\lambda_{\text {Ex}}=2\cdot d\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{r}{L-R+\sqrt{R^2-r^2}}\right)\right)$$relative Abweichung
\(5\,\rm{kV}\)$1{,}73\cdot 10^{-11} \,\text m$\(1{,}05\,\rm{cm}\)$1{,}77\cdot 10^{-11} \,\text m$2,31 %
\(7\,\rm{kV}\)$1{,}46\cdot 10^{-11} \,\text m$\(0{,}90\,\rm{cm}\)$1{,}51\cdot 10^{-11} \,\text m$3,42 %
\(10\,\rm{kV}\)$1{,}22\cdot 10^{-11} \,\text m$\(0{,}75\,\rm{cm}\)$1{,}26\cdot 10^{-11} \,\text m$3,28 %

Interpretation der Ergebnisse

Die Tabelle und die geringe relative Abweichung zwischen den berechneten Wellenlängen zeigt, dass de Broglies Hypothese tasächlich zutreffend war. Auch massebehaftete Teilchen können Welleneigenschaften zeigen und für ihre Wellenlänge gilt $\lambda_{\text {de Broglie}}=\frac{h}{p_{\text e}}$.

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