Einführung
Wellenlänge
Beugungs-ordnung Graphitschicht Übungen
Einführung
Wellenlänge
Beugungs-Mithilfe der Elektronenbeugungsröhre soll nun experimentell bestätigt werden, dass de Broglies Vermutung korrekt ist und massebehaftete Teilchen die de-Broglie Wellenlänge $\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac {h}{m_\text e\cdot v_\text e}$ besitzen.
Dazu müssen wir zeigen, dass die im qualitativen Experiment festgestellten Kreisringe Interferenzmaxima der Elektronen durch Beugung an der Graphitschicht sind.
Interferenzmaxima treten auf, wenn die Bragg-Bedingung $$\begin{equation}\text n\cdot \lambda=2\cdot d\cdot \sin(\theta)\end{equation}$$erfüllt ist.
Um aus dem Radius der Kreisringe die Wellenlänge der Elektronen bestimmen zu können, muss die Geometrie der Röhre berücksichtigt werden.
Hierbei nutzen wir folgende Größen: \(L=\) Abstand Graphit zu Schirm, \(R=\) Radius der Glaskugel, \(r=\) Radius des Rings auf dem Schirm.
Für den Winkel $\theta$ lässt sich folgende Beziehung aufstellen (vgl. Abb. 2): $$\begin{equation}\tan(2\,\theta)=\frac{r}{l_1+l_2}\end{equation}$$Mit $l_1=L-R$ und $l_2=\sqrt{R^2-r^2}$ folgt: $$\begin{equation}\tan(2\,\theta)=\frac{r}{L-R+\sqrt{R^2-r^2}}\quad\Leftrightarrow\quad\theta=\frac{1}{2}\cdot \tan^{-1}\left(\frac{r}{L-R+\sqrt{R^2-r^2}}\right)\end{equation}$$ Setzt man diese nun in die Bragg-Bedingung (1) ein und geht davon aus, dass der innere Ring ein Beugungsmaximum 1. Ordnung ist, also \(n=1\) gilt, folgt für die Wellenlänge $\lambda$:$$\begin{equation}\bbox[8px,border:2px solid red]{\lambda=2\cdot d\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\cdot \tan^{-1}\left(\frac{r}{L-R+\sqrt{R^2-r^2}}\right)\right)}\end{equation}$$wobei $d=2{,}13\cdot 10^{-10}\,\text m$ ein Netzebenenabstand von Graphit ist. Die Größen \(L\) und \(R\) sind röhrenspezifisch und können abgemessen werden. Bei der hier verwendeten Röhre ist \(L=12{,}7\,\rm{cm}\) und \(R=6{,}35\,\rm{cm}\).
Im Experiment ist also zu zeigen, dass die mit \((4)\) berechnete Wellenlänge der de-Broglie-Wellenlänge $\lambda_{\text{de Broglie}} =\frac {h}{m_\text e\cdot v_\text e}$ entspricht.
