Trennung von Isotopen aus Abi 2010 in Bayern (Aufgaben b bis g)

(Quelle: ISB Bayern)
Bilder von alten Abituraufgaben

Lösungen:

b) Für die Kraft auf ein Teilchen mit der Ladung q im E-Feld eines Plattenkondensators mit Plattenspannung U und Plattenabstand d gilt: $$\begin{equation}F_{el}=q\cdot E=\frac{U\cdot q}{\text d}\end{equation}$$ Mit dem 2. Newtonschen Gesetz $F=m\cdot a$ folgt hieraus $$\begin{equation}F=m\cdot a \Leftrightarrow a =\frac{F}{m} \Rightarrow a=\frac{U\cdot q}{\text{d}\cdot m}\end{equation}$$ Für die beiden Isotope, die als Ladung jeweils e tragen ergibt sich: $$\text{Für Isotop }{}^{12}\text{C:} \qquad a_{12}=\frac{250\,\text V \cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C}{0{,}04\,\text m\cdot 1{,}99\cdot 10^{-26}\,\text{kg}}\approx 5{,}025\cdot 10^{10}\frac{\text m}{\text{s}^2}$$ $$\text{Für Isotop }{}^{14}\text{C:} \qquad a_{14}=\frac{250\,\text V \cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C}{0{,}04\,\text m\cdot 2{,}33\cdot 10^{-26}\,\text{kg}}\approx 4{,}292\cdot 10^{10}\frac{\text m}{\text{s}^2}$$ c) aufgrund des Superpositionsprinzips können die Bewegungen in x- und y-Richtung getrennt betrachtet werden.
In x-Richtung bewegen sich die Isotopen geradlinig gleichförmig mit der Geschwindigkeit $v_0=2{,}8\cdot 10^{5}\frac{\text m}{\text s}$. Daher gilt hier $$\begin{equation}x(t)=v_0\cdot t\Rightarrow t=\frac{x}{v_0}\end{equation}$$ In y-Richtung wirkt auf die Isotopen eine konstante Kraft F. Es gelten daher die Gesetze für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung, insbesondere $$\begin{equation}y(t)=\frac{1}{2}a\cdot t^2\end{equation}$$ Einsetzen von (3) in (4) und ersetzen von a durch (1) liefert: $$\begin{equation}y(x)=\frac{a\cdot x^2}{2\cdot v_0^2}=\frac{U\cdot q}{2\cdot d\cdot m\cdot v_0^2}\cdot x^2\end{equation}$$ Da bei einfach geladenen Ionen q = e gilt, ist dies die Bahngleichung.
Da eine größere Masse bei gleicher Ladung zu einer geringeren Beschleunigung und somit zu einer geringeren Ablenkung in y-Richtung führt, ist Bahn 1 dem ${}^{14}$C-Isotop zuzuordnen, die Bahn 2 dem ${}^{12}$C-Isotop.

d) Für die Abweichung der Bahn gilt: $$\Delta y=y_{12}(20)-y_{14}(20)=\frac{U\cdot q \cdot x^2}{2\cdot d\cdot v_0^2}\cdot \left(\frac{1}{m_{12}}-\frac{1}{m_{14}}\right)$$ $$\Rightarrow\frac{250\,\text V\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C \cdot \left(0{,}2\,\text m\right)^2}{2\cdot 0{,}04\,\text m\cdot \left(2{,}8\cdot 10^5\frac{\text m}{\text s}\right)^2}\cdot \left(\frac{1}{1{,}99\cdot 10^{-26}\,\text{kg}}-\frac{1}{2{,}33\cdot 10^{-26}\,\text{kg}}\right)\approx 0{,}00187\,\text m \approx 1{,}87\,\text {mm}$$
e) Gleichung (5) kann nach dem gesuchten Wert Umax aufgelöst werden: $$U_{\text{max}}=\frac{2\cdot d \cdot y(x)\cdot m\cdot v_0^2}{q\cdot x^2}$$ durch einsetzen von der leichteren Masse m12, y(x) = 0,02 m (halber Plattenabstand) und x = 0,2 m (Länge des Kondensators) ergibt sich: $$U_{\text{max}}=\frac{2\cdot 0{,}04\,\text m \cdot 0{,}02\,\text m\cdot 1{,}99\cdot 10^{-26}\,\text{kg}\cdot \left(2{,}8\cdot 10^5 \frac{\text m}{\text s}\right)^2}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C\cdot \left(0{,}2\,\text m\right)^2}\approx 0{,}39\,\text {kV}$$