Aufgabe 4: Ionentriebwerk aus Abi 2000 in Bayern

Lösungen:

a) Die kinetische Energie der Ionen ist gleich der vom elektrische Feld verrichten Beschleunigungsarbeit: $$\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = q \cdot U \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 \cdot q \cdot U}{m}} $$ $$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1280\,\text V}{2{,}18 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}}} \approx 43{,}3 \cdot 10^3\, \frac{\text m}{\text s}$$ b) Für die Kraft auf ein Teilchen einzelnes im E-Feld gilt: $$F_e = q \cdot E$$ Für die resultierende Kraft auf N-Teilchen gilt dann: $$F_{\text{res}} = N \cdot F_e \Rightarrow F_{res} = N \cdot q \cdot \frac{U}{\text d}$$ $$F_{\text{res}} = 2{,}2 \cdot 10^{13} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot \frac{1280\,\text{V}}{0{,}05\,\text{m}} \approx 90\,\text{mN}$$ c) Nach Newton III (Actio = Reactio) wirkt auf die Sonde ebenfalls eine Kraft, die betragsmäßig gleich der in Teil b) berechneten Kraft ist. Da nur diese konstante Kraft wirkt, gelten die Gesetzmäßigkeiten der konstant beschleunigten Bewegung:

Für die Beschleunigung gilt: $$F_{\text{res}}= m\cdot a \Rightarrow a = \frac{F_{\text{res}}}{m}$$ Aus der Formel füt die Geschwindigkeit $v = a \cdot t$ folgt: $$v=a\cdot t \Rightarrow t =\frac{v}{a}=\frac{v\cdot m}{F_{\text{res}}} $$ Mit $v=\frac{100}{3{,}6}\frac{\text m}{\text s}$ folgt: $$t = \frac{100\,\text m \cdot 486\,\text {kg}}{3{,}6\,\text s\cdot 90\cdot 10^{-3}\,\text N} \approx 1{,}5 \cdot 10^5\,\text s \approx 42\,\text h$$