Was sind die physikalischen Ursachen, dass sich die Flugbahn mit $\bbox[5px,border:2px solid red]{y(x)=\frac{U_{\text{p}}}{4\cdot d\cdot U_{\text{b}}}\cdot x^2}$ beschreiben lässt?
Dazu betrachten wir die Bewegung in x- und y-Richtung zunächst getrennt voneinander:
x-Richtung:
Nach dem Verlassen der Elektronenkanone wirkt auf die Elektronen in x-Richtung keine Kraft mehr. Es findet also eine geradlinig-gleichförmige Bewegung statt. Es gilt:$$\begin{equation}x(t)= v_0\cdot t\end{equation}$$
$$\begin{equation}v(t)= v_0\end{equation}$$
$$\begin{equation}a(t)=0\end{equation}$$
$v_0$ ist die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen die Elektronenkanone verlassen:$$\begin{equation} v_0=\sqrt{2 \cdot \frac {e}{m_e}\cdot U_{\text b}} \end{equation}$$
y-Richtung:
In y-Richtung wirkt durch das E-Feld zwischen den Ablenkplatten eine Kraft F auf die Elektronen:$$\begin{equation} {F_{el}=E\cdot e =\frac{U_{\text p}\cdot e}{\text{d}}} \end{equation}$$
Die Elektronen werden daher in y-Richtung gleichmäßig beschleunigt und es gilt:$$\begin{equation}y(t)=\frac{1}{2}a_y\cdot t^2\end{equation}$$
$$\begin{equation}v_y(t)=a_y\cdot t\end{equation}$$
$$\begin{equation}a_y(t)=\frac{F_{el}}{m_e}=\frac{U_{\text p}\cdot e}{m_e\cdot \text{d}}\end{equation}$$
Eliminieren von t:
Nun bringen wir die beiden Bewegungsrichtungen zusammen und eliminieren die Zeitabhängigkeit in (6).
Dazu stellen wir (1) nach t frei und setzen dies in (6) ein. Wir erhalten:$$\begin{equation}y(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{a_y}{{v_0}^2}\cdot x^2\end{equation}$$
Einsetzen von (8) für $a_y$ liefert die Gleichung:$$\begin{equation}y(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{U_{\text p}\cdot e}{m_e\cdot \text d\cdot {v_0}^2}\cdot x^2\end{equation}$$
Quadrieren und Einsetzen von (4) für ${v_0}^2$ sowie kürzen von $m_e$ und $e$ führt zu:$$\begin{equation}\bbox[5px,border:2px solid red]{y(x)=\frac{U_{\text p}}{4\cdot \text{d}\cdot U_{\text b}}\cdot x^2} \end{equation}$$
Hypothesen
Experiment
Kräfte-