Elektronen in elektrischen und magnetischen Feldern aus Abitur 2017 in Bayern

Lösungen:

Hinweis: Diese Lösung stellt nicht den amtlichen Lösungsvorschlag des bayerische Kultusministeriums dar.
d) Wenn sich die Elektronen entlang der \(x\)-Achse bewegen, heben sich die nach oben gerichtete elektrische Kraft \({\vec F_{{\rm{el}}}}\) und die nach unten gerichtete LORENTZ-Kraft \({\vec F_{{\rm{L}}}}\) gerade auf. In diesem Fall muss das homogene Magnetfeld in die Zeichenebene gerichtet sein (Drei-Finger-Regel der linken Hand). Die Elektronen bewegen sich in der magnetfelderzeugenden Spule im Gegenuhrzeigersinn.
Für die vorgegebenen Spannungswerte müssen die Beträge \({F_{{\rm{el}}}} = e \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{d}\) der elektrischen Kraft und \({F_{\rm{L}}} = e \cdot {v_0} \cdot B\) der LORENTZ-Kraft gleich groß sein, d.h. das Verhältnis dieser Kraftbeträge sollte \(1\) betragen:$$\frac{{{F_{\rm{el}}}}}{{{F_{\rm{L}}}}} = \frac{{e \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{d}}}{{e \cdot {v_0} \cdot B}} = \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{{d \cdot {v_0} \cdot B}}$$Einsetzen der gegebeben Werte liefert$$\frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{F_{\rm{L}}}}} = \frac{{0{,}84 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}}}{{6{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}} \cdot 2{,}3 \cdot 10^7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}61 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{T}}}} = 1{,}0$$

e) Eine Erhöhung des Spulenstroms bedeutet eine Vergrößerung der magnetischen Flussdichte \(B\) und damit eine Vergrößerung des Betrags \(F_{\rm{L}}\) LORENTZ-Kraft, welche die Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung darstellt. Eine Vergrößerung des Betrags der Zentripetalkraft bedeutet aber eine Verkleinerung des Radius der Kreisbahn.

f) Die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft stellt die LORENTZ-Kraft dar:$${F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot v_0^2}}{r} = e \cdot {v_0} \cdot B \Leftrightarrow {v_0} = \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot r \cdot B$$Mit dem Ergebnis von Teilaufgabe a) folgt $$\sqrt {2 \cdot \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot {U_{\rm{B}}}} = \frac{e}{{{m_e}}} \cdot r \cdot B \Leftrightarrow B = \sqrt {2 \cdot \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}} \cdot {U_{\rm{B}}}} \cdot \frac{{{m_e}}}{e} \cdot \frac{1}{r} = \sqrt {2 \cdot \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{e} \cdot {U_{\rm{B}}} \cdot \frac{1}{{{r^2}}}} $$Wählt man für \(U_{\rm{B}} =1{,}5\,\rm{kV}\), so ergibt sich $$B = \sqrt {2 \cdot \frac{{9{,}1 \cdot {{10}^{ - 31}}\,{\rm{kg}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} \cdot 1{,}5 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {3{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}} = 4{,}0 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{T}}$$Eine mögliche Kombination wäre \(U_{\rm{B}} =1{,}5\,\rm{kV}\) und \(B = 4{,}0\,\rm{mT}\).