Ionenstrahlen aus Abi 2012 in Sachsen-Anhalt

Lösungen:

2.1) In einem Geschwindigkeitsfilter können mithilfe von elektrischem und magnetischen Feld Elektronen einer bestimmten Geschwindigkeit aus einem Strom von geladenen Teilchen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten gewonnen werden. Dabei stehen die Bahn der geladenen Teilchen, das E-Feld und das B-Feld jeweils paarweise Senkrecht zueinander. E- und B-Feld sind homogen. und am Ende des Plattenkondensator befindet sich eine Blende, die nur Elektronen auf der Mittelachese des Plattenkondensators durchlässt.
Auf die geladenen Teilchen wirkt im gekreuzten Feld aufgrund der Bewegung im B-Feld eine Lorentzkraft $F_{\rm{Lorentz}}$. Diese wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen. Aufgrund des E-Feldes erfahren die Teilchen ebenso eine elektrische Kraft $F_{el}$, die aufgrund der Anordnung beim Eintritt der Elektronen ins E-Feld ebenfalls senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen wirkt. Für die elektrische Kraft im Plattenkondensator gilt: $$F_{el}=\frac{U\cdot q}{\text d}$$ Für die Lorentzkraft im B-Feld gilt: $$F_{\rm{Lorentz}}=q\cdot v_0\cdot B$$ Durch geeignete Polung der Platten bzw. Ausrichtung des Magnetfeldes kann nun erreicht werden, dass $F_{el}$ und $F_{\rm{Lorentz}}$ in entgegengesetzte Richtung wirken. Jetzt passieren nur Teilchen den Geschwindigkeitsfilter, für die sich $F_{el}$ und $F_{\rm{Lorentz}}$ gegenseitig aufheben, also für die gilt: $$F_{el}=F_{\rm{Lorentz}}\Rightarrow \frac{U\cdot q}{\text d}=q\cdot v_0\cdot B$$ Auflösen nach der Geschwindigkeit $v_0$ liefert: $$\begin{equation}v_0=\frac{U\cdot q}{\text d \cdot e\cdot B}=\frac{U}{\text d \cdot B}\end{equation}$$ Nur Elektronen mit dieser Geschwindigkeit passieren den Wien-Filter inabgelenkt und gelangen durch die Blende. Der Ausdruck ist nur vom E- und B-Feld abhängig, aber nicht von der Ladung q oder der Masse m der sich duch den Filter bewegenden Teilchen.

2.2) Für den Radius der Kreisbahn von geladenen Teilchen im B-Feld gilt $$\begin{equation}r=\frac{m\cdot v_0}{q\cdot B}\end{equation}$$ Daher treffen die $\text{Ar}^{2+}$-Ionen im Punkt P₂ auf den Detektor, da sie im Vergleich mit den $\text{Ar}^{+}$-Ionen die doppelte Ladung q tragen und zusätzlich eine etwas geringere Masse m besitzen. Dies führt zu einem geringeren Radius der Kreisbahn. Die $\text{Ar}^{+}$-Ionen treffen im Punkt P₂ auf den Detektor.
Für den Radius der $\text{Ar}^{+}$-Ionen gilt nach (2): $$r=\frac{m\cdot v_0}{q\cdot B}$$ Auflösen nach $v_0$ liefert: $$v_0=\frac{r\cdot q\cdot B}{m}$$ Da der Abstand a=20 mm von der Blende gerade 2r entspricht, $q=e$ gilt, und die Masse von Argon 39,848u beträgt (das fehlende Elektron kann vernachlässigt werden) folgt $$v_0=\frac{10^{-2}\,\text m\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C\cdot 2\,\text T}{39{,}948\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\text{kg}}=48255{,}5\,\frac{\text m}{\text s}$$ Umformen von (1) und einsetzten führt zu $$v_0=\frac{U}{\text d \cdot B}\Rightarrow U=v_0\cdot \text d\cdot B=48255{,}5\,\frac{\text m}{\text s}\cdot 0{,}05\,\text m\cdot 2\,\text T=4825{,}55\,\text V$$