Fadenstrahlrohr und Bestimmung der Elektronenmasse aus Abi 2014 in Bayern

Lösungen:

a) Ausschlaggeben ist, dass im B-Feld die Kraft $F_{\text{Lorentz}}$ immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen steht, während im E-Feld die Kraft $F_{\text{el}}$ parallel zur der Bewegungsrichtung der Elektronen ist.
Im E-Feld der Elektronenkanone wirkt auf die Elektronen durch das E-Feld zwischen Glühkathode und Anode eine Kraft $F_{\text{el}}$ in Richtung der positiv geladenen Anode. Diese Kraft beschleunigt die Elektronen in Richtung der positiv geladenen Platte. Das E-Feld verrichtet also Arbeit am Elektron und die Geschwindigkeit nimmt zu.
Im B-Feld wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft $F_{\text{Lorentz}}$. Diese steht immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung der Elektronen. Da eine Kraft $F$ nur Arbeit verrichten kann, wenn sie einen Anteil in Richtung der Bewegungsrichtung besitzt, kann die Lorentzkraft $F_{\text{Lorentz}}$ keine Arbeit am Elektron verrichten. Damit ändert sich hier der Betrag der Geschwindigkeit der Elektronen nicht, sondern nur die Richtung der Bewegung.

b) Die Lorentzkraft auf die Elektronen stellt die für eine Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft da. Daher gilt: $$\begin{equation}F_{\rm{Lorentz}}= F_{\rm{Zentripetal}}\end{equation}$$ $$\begin{equation}e\cdot v_0 \cdot B = m_e\frac{{v_0}^2}{r}\end{equation}$$ $$\begin{equation}e\cdot B = m_e\frac{{v_0}}{r}\end{equation}$$ v₀ ist die Geschwindigkeit der Elektronen, die durch die Beschleunigung im E-Feld der Elektronenkanone verursacht wird. Diese ist nur abhängig von der Beschleunigungsspannung U und es gilt: $$\begin{equation}v_0=\sqrt{2\cdot\frac{e}{m_e}\cdot U}\end{equation}$$ Einsetzen in (3) und quadrieren der Gleichung liefert: $$\begin{equation}e^2\cdot B^2 = m_e^2\frac{2\cdot e\cdot U}{r^2\cdot m_e}\end{equation}$$ Auflösen nach $m_e$ führt zu $$\begin{equation}m_e=\frac{e\cdot B^2\cdot r^2}{2\cdot U}\end{equation}$$ Dies war zu zeigen.

c) Aus den Messwerten folgt: $$m_e=\frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C\cdot \left(10^{-3}\,\text T\right)^2\cdot\left(0{,}055\,\text m\right)^2}{2\cdot 250\,\text V}=9{,}68\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$$ Für die Abweichung vom Literaturwert gilt damit: $$|1-\frac{9{,}68\cdot 10^{-31}}{9{,}19\cdot 10^{-31}}|=5{,}332\,\%>5\,\%$$
d) Für die Geschwindigkeit der Elektronen ergibt sich klassisch: $$\begin{equation}v_0=\sqrt{2\cdot\frac{e}{m_e}\cdot U}\Rightarrow v_0=\sqrt{2\frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C}{9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text {kg}}\cdot 250\,\text V}\approx 9{,}376\cdot 10^6 \frac{\text m}{\text s}\end{equation}$$ Für die relativistische Geschwindigkeit der Elektronen gilt: $$\begin{equation}{v_{\text{relativistisch}}=c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left({1+\frac{U\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}}}\end{equation}$$ $$\begin{equation}\Rightarrow {v_{\text{relativistisch}}=3\cdot 10^8 \frac{\text m}{\text s}\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left({1+\frac{250\,\text V\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text C}{9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}\cdot \left(3\cdot 10^8\frac{\text m}{\text s}\right)^2}}\right)^2}}}\approx 9{,}373\cdot 10^6\frac{\text m}{\text s}\end{equation}$$ Der Fehler in der Geschwindigkeit beträgt daher: $$|1-\frac{9{,}373}{9{,}376}|\approx 0{,}032\%$$ Die Vernachlässigung relativistischer Effekte erklärt somit nicht die Abweichung. Die Abweichung lässt sich vermutlich mit dem Ablesefehler des Radius erklären. Hier führt eine Abweichung von 1 mm zu einem Fehler von: $$|1-\frac{0{,}055}{0{,}054}|\approx 1{,}85\%$$